大阪教育大学附属高校池田校舎・友田勝久先生作成のフリーソフトウエアです。

右のサイトからダウンロードできます。「Visual数学を目指して(Welcome to Grapes)」


”問題解法をGrapesでとらえる”  (PDF形式)
1.空間図形の問題     Grapesで作成ファイルのダウンロード
 
 93)88-応用5) 正8面体の頂点の座標 (東京都立大82年) 4)番教材改良
 92)88-応用4) 正4面体と5個の球 (東京薬科大97年) 7)番教材改良
 91)88-応用3) 正12面体の最長対角線
 90)88-応用2) 正四角錘と正四面体 (岡山大97年)
 89)88-応用1) 正四面体に内外接する球の半径・各辺に接する球の半径
 88)正多面体の関係 (正6面体→正4面体→正8面体→正20面体→正12面体→・・・)
 87)東京大02年二十面体の体積最大
 86)人工衛星の周回軌道と世界地図に表示した軌跡
 85)不等式を空間表示 sinx+siny≧sin(x+y)、2sin(x+y)≧sin2x+sin2y
 84) Viviani曲線・球と円柱でできる立体の体積
 83) Viviani曲線・長方形の描く面積  (慶応大91年)
 82) Viviani曲線・円柱側面の面積  (埼玉大96年)
 81) Viviani曲線・∠PQRの値の範囲  (京都工芸繊維大04年) 
 80) Viviani曲線・曲線は,球の表面上にあるか  (東北大91年)
 79) カッシーニ曲線とレムニスケート曲線・ドーナツ状立体の切断面
       〃〃  追加 切断面のPDFアニメーション
 78) 球に含まれる正四面体表面の面積(大阪大93年)
 77) 二円柱交差部分でy≦1/2 の領域の体積 (東北大06年)
 76) 放物面と円柱に囲まれた立体の体積 (筑波大06年)
 75) 三角形をz軸周りに回転してできる回転体の体積 (神戸大06年)
 74) 球の表面から見える立方体の頂点の数 (東京大96年)
 〃)    〃 PDFアニメーション
 73) 直線Lの周りに線分を回転してできる回転体の体積(関西学院大05年)
 72)二次式空間表示 (1) 最小値が存在する条件 (2) f(x,y)≧0の条件(慶応大06年)
 〃)  問(1)PDFアニメーション    問(2)PDFアニメーション
 71)P(a,b,c)から出た光がxy平面に作る球の影(PDFアニメーション)  
 70)B(0,0,3)から出た光がxy平面に作る球の影(明治大00年)
 〃)  〃 PDFアニメーション1   〃 PDFアニメーション2
 69)円すいと半球でできる領域の体積(類 東京大94年,02年)
 68)円すいと曲面(z^2=x)でできる領域の体積(東京大94年)
 67)単位円内で円に垂直な正三角形が通過する領域の体積(京都大96年)
 66)円柱と円すいの共通部分の体積(東京大03年)
 65) 球が立方体の表面と内部を移動、通過する領域の体積(上智大05年)
 64) リサージュ曲線を空間的に眺める
 〃)    〃 PDFアニメーション(x=cos(t+φ),y=sin2t)
 〃)    〃 PDFアニメーション(x=cos(t+φ),y=sin3t)
 63) 三角形の描く立体の体積(大阪大86年)
 62) 二次曲線・空間図形と平面図形の対比(横浜市立大02年・筑波大97年)
 61) 空間の2線分の長さの和(大阪府立大03年)
 60) Grapesで空間図形を描く(改訂版)
 59) 正四面体Tに内接する球S1,S1に外接しTに内接する球S2… 体積和・表面積和
 58) 円柱内の立体の体積(名古屋市立大05年)
 57) 各面がひし形の正六面体.中点を結ぶと常に正六角形(長崎大05年)
 〃)   〃  PDFアニメーション
 56) 空間曲面で囲まれる領域の面積(東京大82年)
 55) 球上の1点から見える範囲(東京大73年)
 54)問いを空間表示して眺める。(上智大97年 f(x,y) および教科書の代表的な不等式)
 53)立方体を平面で切断。断面の形の変化と断面積が最大になるとき。
 〃) 〃 断面の形 ・ PDFアニメーション
 52)2個の大球・8個の小球。小球の半径(大阪大84年)
 51)点Pがz軸上を移動 (1) AP+PBの最大 (2) |AP-PB|の最小(類 お茶の水女子大05年)
 50)点Pが線分上を移動。∠COPが最大となるとき(姫路工大03年)
 49)空間の1点からxy平面上の直線へおろした垂線の足の軌跡(大阪市立大96年)
 48)正方形OABC上を点Pが移動。OPを一辺とする正方形の面積をグラフにかけ。
 47) 神戸ポートタワー 
 46)「バウムクーヘン法」あるいは「年輪法」で体積を求める(y=sinxを回転など)
 45)三角関数式の増減を空間表示(富山大05年など)
 44)四角すいの隣り合う面のなす角を求める(東京大68年)
 43)正五角形折り曲げ・・・2つの三角形の面積が等しくなるとき(神戸大92年)
 42)線分が立方体の辺上を移動してできる立体の体積(奈良教育大91年)
 41)円すいをy軸回りに回転した立体の体積(上智大93年)
 40)円形のシールを垂直にはがしていったとき通過する領域の体積
 39)外殻と内殻からなるx軸まわりの回転体の体積(東北大03年)
 38)三角形の板を直線lの回りに回転したときの通過領域体積(類 名古屋大86年)
 37)yz平面上の放物線と(2,0,-1)を結ぶ線分がxy平面と交わる点Qの軌跡(慶応大05年)
 36)円上の点から光線を発射、xy平面上の影の通過領域(青山学院大93年)
 35)円すいを平面で切断。切り口が,だ円・放物線・双曲線となることの証明
    &円柱を平面で切断。切り口がだ円となる。 ( 円柱切断を追加 )

 34)らせん階段状の立体の体積(東北大91年,九州芸工大92年,富山医科薬科大03年)
 33)球をn個の大円で切断したとき分割される表面領域の数(類:東京理科大94年)
 32)正20面体の最長対角線の長さ
      〃 〃 〃  (PDFアニメーション)
 31)正20面体の隣り合う2面の成す角のcosθ(横浜市立大94年)
 30)立方体を中心を通る対角線を軸に回転.通過領域の体積(東京工大93年)
 29)空間で円をz軸周りに回転させてできる立体の体積(類 埼玉大99年)
 28)三角柱を底面の1辺を軸に回転.通過領域の体積(類 東京理科大02年)
 27)球の頂上Aと平面上の2点B,Cを結ぶ直線が球とD,Eで交差.△AED∽△ABCを示せ(京都大1958年)
 26)三角柱2本の共通部分の体積(大阪大99年)
 25)四角すいをy軸周りに回転、体積、xy平面上の図形(上智大05年)
 24)四角すいが平面x=0によって分割されるときの体積比(京都大92年)
 23)三角すいをz軸周りに回転してできる立体の体積(津田塾大02年)
 22)三角形をz軸周りに回転してできる立体の体積最大(名古屋大94年)
 21)空間で三角形の面積が最小となるときの座標(山口大97年、一橋大93年)
 20)凸多面体の体積(上智大97年)
 19)正四面体に内接する球、外接する球の半径
 18)立方体の頂点から対角線に引いた垂線の長さ、三角形へ引いた垂線の長さ
 17)正四面体を平面に射影した図形の面積の最大値・最小値(東京大88年)
 16)円柱を切断した立体の体積(東京大05年、東京工大05年などのための参考類題)
 15) x^2+y^2≦r^2 , y^2+z^2≧r^2 , z^2+x^2≦r^2 をみたす点からなる立体の体積(東京大05年)
 14)追加  四面体を……平面αへ投影.4点が同一円周上の場合があることを示せ(京都大02年)
    PDFアニメーション  その1   その2
 14) 四面体を1辺を軸にして回転.平面αへ投影.4点が同一円周上の場合があることを示せ(京都大02年)
 13) 平行四辺形を折り曲げて4面が合同な四面体ができることを示せ(名古屋大03年)
 12) 3本の円柱が垂直に交差しているとき共通部分の体積(類 名古屋市立大04年)
 11) 空間での2線分の和CP+PDが最小となるとき(早稲田大05年)
 10) 円C上を円盤Dが移動してできる立体の体積(東京工大05年)
 9) 立方体内の2球の体積和が最小となるとき(大阪大76年)
 8) 球上に四面体の4頂点があるときの半径(東京大01年)
 7) 正四面体の頂点に4球があり互いに外接.4球に接する球の半径。(東京薬大97年)
 6) メネラウスの定理証明を立体的に見る。
 5)2つの円柱が交差した部分の体積
 4) 頂点が(0,0,0),(2,0,0),(1,√3,0)の正八面体の他の頂点の座標。(都立大84年)

 3) z=exp(-x^2-y^2)を描く。
 2) 空間らせん x=cost, y=sint , z=t を描く。
 1) 参考 空間図形の描画法

                           


2.平面図形の問題
 
1)指数曲線と円が接するとき(岡山大91年)
 2)極限値の前後の様子をグラフで見る
 3)直線の通過領域(和歌山大95年) 
 4)円の通過領域(岐阜大89年)
 5)複素数平面上での点の軌跡(横浜国大00年、茨城大99年、山口大99年
 6)三次曲線の平行移動(東京大88年)
 7)媒介変数で表わされる曲線(東京商船大00年)
 8)垂線の足の軌跡(横浜国大99年)




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